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Warum können wir ausgerechnet mit Mathematik die Welt so gut beschreiben?

Im Jahr 1960 veröffentlichte der Nobelpreisträger für Physik E. P. Wigner einen philosophischen Aufsatz mit dem Titel ‚The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences‘, der sich mit der oben aufgestellten Frage auseinandersetzt. Schon kurze Zeit nach der Veröffentlichung wurde das Schlagwort Wigners Puzzle geprägt, um auf die verblüffende Macht der Mathematik hinzuweisen.

INHALT ÜBERBLICK
  1. Endloses Staunen über die Welt
  2. Angewandte Mathematik – Wigners Puzzle
  3. Die Magie der Mathematik
  4. Einige Erklärungsversuche Hammings
  5. Wir erkennen das, wonach wir auch suchen
  6. Wir wählen die Art der Mathematik, die uns passt
  7. Jede Wissenschaft gibt uns nur wenige Antworten
  8. Fazit – Hammings Zweifel über seine Versuche
  1. Wie sieht die historische Entwicklung der Erklärung des Kosmos aus?
  2. Was genau bezeichnet Wigners Puzzle?
  3. Welches verblüffende Phänomen beschreibt Wigner? Was daran ist verblüffend?
  4. Wie lauten Hammings Erklärungsversuche bezüglich des wignerischen Puzzles?
  5. Mit welchem Fazit muss Hamming enden?

Endloses Staunen über die Welt

Der Mensch hat, soweit wir es nachvollziehen können, schon immer über sich selbst, die Welt und über das Leben gestaunt. Die Geschichte der Menschheit kennt unzählige Schöpfungsmythen, Erzählungen und Geschichten der Vergangenheit, die uns darüber Auskunft zu geben versuchen, wie Gott oder mehrere Gottheiten das Universum und den Menschen erschaffen haben.

Diese theologischen Erklärungsversuche sind jedoch aus einem einfachen Grund unbefriedigend. Sie alle teilen die Eigenschaft, dass es überhaupt keinen Sinn macht nach dem Warum der Welt zu fragen, weil wir auf dogmatische Weise immer wieder am selben Punkt ankommen: Gott hat die Welt so geschaffen, weil er sie eben so geschaffen hat – es ist schließlich Gott.

Dass Menschen schließlich entgegen der theologischen Erklärung begonnen haben auf andere Weise der Frage nach dem Wie und Warum des Universums nachzugehen, ist ja wohl klar. Mit der Philosophie der Vorsokratiker kam erstmals eine alternative Erklärung der Welt zustande und einige Jahrhunderte später haben wir kraft der Wissenschaft eben jenen ausdifferenzierten Standpunkt erreicht, der heutzutage gängig ist.

Selbstverständlich kann auch die moderne Wissenschaft nicht das Warum hinter der Welt so wirklich erklären – keiner weiß, warum wir existieren, warum es überhaupt etwas gibt und so weiter. Aber die Wissenschaft vermag uns so viele Details über das Wie der Welt zu geben, dass wir nun den Eindruck bekommen, zumindest ein grobes Gefühl für das Warum der Welt zu besitzen. [1]

Die nächste Frage muss natürlich lauten, wie die Wissenschaft das zu bewerkstelligen weiß. Wie schafft es die Wissenschaft uns ein Verständnis des Wie und vielleicht sogar des Warum der Dinge zu vermitteln? Genau hier kommt das bereits erwähnte wignerische Puzzle ins Spiel.

Angewandte Mathematik – Wigners Puzzle

Der Mathematiker und Turing-Preisträger R. W. Hamming hielt 1979 einen Vortrag in der Form einer Replik auf Wigners Aufsatz. Er wählte angelehnt an diesen den auf größere Allgemeinheit bezogenen Titel ‚The unreasonable effectiveness of mathematics‚, worauf er eine Antwort zu geben versuchte.

Wir halten fest, dass unser Hauptwerkzeug zur Durchführung langer Deduktionsketten innerhalb strikter Logik, was von der Wissenschaft immer ausnahmslos verlangt wird, zweifelsohne die Mathematik ist. In der Tat könnte Mathematik als das mentale Werkzeug definiert werden, das genau diesem Zweck dienlich ist.

Wigner deutete genau auf diese zentrale Stellung der Mathematik in sämtlichen Naturwissenschaften hin. ‚Wigners Puzzle‘ befasst sich demnach mit der Frage nach der nicht zu leugnenden Tatsache, die in folgendes interessante philosophische Problem mündet: Warum sollten Naturwissenschaftler feststellen, dass sie ihre eigenen Theorien nicht einmal ohne Angabe abstrakter mathematischer Theorien ausdrücken können?

Die Magie der Mathematik

In anderen Worten formuliert: Wieso kann die mathematische Sprache, die allein durch ästhetische Maßstäbe und vollkommen unabhängig von empirischen Tatsachen entwickelt wird, bloß so unglaubliche Bezüge und Vorhersagen über die physikalische Welt ermöglichen?

How does the mathematician – closer to the artist than the explorer – by turning away from nature, arrive at its most appropriate descriptions? [2]

Dieses verblüffende Phänomen ist keinesfalls reserviert für Physik-Professoren oder Wissenschaftler am LHC, sondern begegnet uns bereits in ziemlich simplen Alltagssituationen. Ein Beispiel, wie es jedem neugierigen Kind widerfahren könnte, lautet wie folgt:

Selbst wenn die Anwendbarkeit der Mathematik auf die physische Situation einfach ist, könnte etwas wie Wigners Puzzle entstehen. Ein Kind, das mit soliden quadratischen Kärtchen spielt, bemerkt, dass manchmal ein größeres quadratisches Feld (5×5) in zwei kleinere quadratische Felder (3×3 und 4×4) umgeordnet werden kann.

Dies ist ein einfaches physikalisches Merkmal der Kacheln. Die rein mathematische Tatsache, dass 3² + 4² = 5² zusammen mit den Fakten über die Ebenengeometrie sind relevant, um hierfür eine Erklärung zu liefern. Das Kind könnte sich darauf fragen, ob Ähnliches mit soliden Würfeln eintritt: Kann ein großer Würfel bestehend aus kleineren Würfeln in zwei kleinere Würfel umgeordnet werden? [3]

Einige Erklärungsversuche Hammings

Bevor wir einige der Erklärungsversuche Hammings für die unglaubliche Effektivität der Mathematik betrachten können, sollten wir seine eigene ‚Definition‘ der Mathematik kennen. Hierzu nennt er vier zentrale Facetten der mathematischen Disziplin, die er wie folgt zusammenfasst [vgl. 1, S.83]:

  1. Die Fähigkeit lange Deduktionsketten durchzuführen
  2. Das Konzept der Geometrie, das sich zur Topologie entwickelte
  3. Das Konzept der Zahl, welches zur modernen Algebra geführt hat
  4. Der Sinn für Ästhetik, der die Eleganz der Mathematik förderte

Die wichtigste Vorstellung Hammings bleibt jedoch, dass Mathematik ein vom Menschen erschaffenes Werkzeug ist, allerhöchstens eine treffende Abbildung seines Denkprozesses darstellt. Diese Sichtweise lehnt sich an einen Formalismus an, der Mathematik als das sinnlose Herumschieben von Zeichen nach gesetzten Regeln betrachtet. Darum ist auch klar, warum Hamming in der Mathematik nichts Absolutes sehen kann:

Mathematik wurde allein vom Menschen geschaffen und unterliegt einer ständigen Veränderung und Entwicklung. [vgl. 1, S.86]

Vor diesem Hintergrund versucht Hamming nun eine Erklärung für Wigners Puzzle zu liefern.

1. Wir erkennen das, wonach wir auch suchen

Die erste von Hamming vorgeschlagene Erklärung für die unglaubliche Effektivität der Mathematik ähnelt einer konstruktivistischen Perspektive. Normalerweise, so Hamming, denken wir in den Natur-Wissenschaften an die Reihenfolge: zuerst das Experiment, dann die mathematische Beschreibung der beobachteten Phänomene.

Dies sei jedoch grundlegend falsch. Unzählige Male haben rein mathematische Überlegungen zu Vorhersagen über die Welt geführt, die sich oft erst Jahrzehnte später bewahrheitet haben. Ein Beispiel hierfür wäre die Vorhersage der Neutrinos 1930 von Wolfgang Pauli (experimentell wurde die Existenz der Neutrinos 1956 bestätigt). [4]

Auch Pythagoras, Galileo und Newton haben nach Hammings These allein anhand der Mathematik abgeleitet, wofür sie heute weltberühmt sind. So ist es meistens der Fall, dass die physikalische Tatsache sich erst aus der mathematischen Beschreibung ableite. Hamming verwendet hierfür eine treffende Metapher:

Wer sich blaue Augengläser aufsetzt, wird die ganze Welt plötzlich blau sehen. [vgl. 1, S.87]

In diesem Sinne stellt sich nach Hammings Ansicht heraus, dass das ursprüngliche Naturphänomen von den mathematischen Werkzeugen, die wir benutzen, und nicht von den realen Gegebenheiten der Welt herrührt. Man müsse daher bereit sein zu akzeptieren, dass viel von dem, was wir sehen, allein von der Brille kommt, die unerschütterlich auf unserer Nase aufgesetzt ist. [vgl. 1, S.88]

2. Wir wählen die Art der Mathematik, die uns passt

Aus der Geschichte der Mathematik wird ohne Weiteres ersichtlich, dass diese immer wieder auf ihre Grenzen stößt und erweitert werden muss. Die natürlichen Zahlen wurden durch rationale Zahlen ergänzt, dann zusätzlich durch irrationale und so weiter. Zu den Skalaren wurden Vektoren hinzugefügt, weil man ein anderes Werkzeug zum Zwecke einer Beschreibung von physikalischen Kräften benötigte. Und so weiter.

Dieser Fakt bestätigt nach Hammings Sichtweise nur erneut, dass Mathematik eine Erfindung des Menschen sei, die sich beliebig ausbauen und verändern lässt. Die Effektivität der Mathematik würde dann darin wurzeln, dass wir im Laufe der Anwendung unserer mathematischen Modelle bei einer ziemlich guten Version der Beschreibung empirischer Tatsachen angekommen sind, die sich aus dem Zusammenspiel mit der Physik ergeben haben.

Demnach lautet meine zweite Erklärung, dass wir stets die Mathematik auswählen, damit diese der jeweiligen Situation entspricht. Es ist einfach nicht wahr, dass die gleiche Mathematik an jedem Ort funktioniert! [vgl. 1, S.89]

3. Jede Wissenschaft gibt uns nur wenige Antworten 

Die Effektivität der Naturwissenschaft und speziell der Mathematik ist nach Hamming auch ein Stück weit erlogen. Enorm viele Aspekte der Realität können weder von Physik, Chemie, Biologie et cetera beschrieben, geschweige denn erklärt werden. Hierzu zählen beispielsweise zentrale philosophische Begriffe, wie Schönheit, Gerechtigkeit und Wahrheit.

Was können wir unter diesen drei Begriffen verstehen? Hamming kommentiert dies mit diesen Worten:

So long as we use a mathematics in which the whole is the sum of the parts we are not likely to have mathematics as a major tool in examining these famous three terms of philosophy. Indeed, to generalize, almost all of our experiences in this world do not fall under the domain of science or mathematics. [1, S.89]

Fazit – Hammings Zweifel über seine Versuche

Wigners Puzzle verblüffte auch ohne den modernen Titel unzählige Forscher der vergangenen Jahrhunderte und Hamming hat dem leider auch nicht viel entgegenzusetzen. Er stellt in der Konklusion seiner Rede geschlagen fest:

Aus all dem Vorangehenden muss ich schließen, dass Mathematik unzumutbar effektiv ist und dass alle Vorschläge, die ich zu geben versucht habe, einfach nicht ausreichen, um zu erklären, warum dies überhaupt der Fall ist. [vgl. 1, S.90]

Vielleicht gehört Wigners Puzzle zu jenen Geheimnissen, die wir Menschen niemals werden herausfinden können. Uns bleibt wohl nur übrig, mit gesammeltem Eifer nach einer möglichen Erklärung für die unglaubliche Effektivität der Mathematik weiterzusuchen, denn unsere heutigen Ansätze sind nicht viel überzeugender als die der antiken Griechen. Wir sind immer noch blind für die Ursprünge der Macht jener Werkzeuge, die wir allzu sehr benutzen.


Quellen und Verweise 

[1] Vgl.: R. W. Hamming: The unreasonable effectiveness of mathematics. Departement of Mathematics, Naval Postgraduate School, Monterey, 1980 | Literatur (ENG)

[2] Steiner, M.: 1995, S.154, ‘The Applicabilities of Mathematics’, Philosophia Mathematica (3) 3, 129–156 | Literatur (ENG)

[3] Anthony Aguirre, Brendan Foster, Zeeya Merali (Hrsg.): Trick or Truth?: The Mysterious Connection Between Physics and Mathematics. Springer International Publishing, Switzerland, 2016, S.92, (Übersetzung des Autors) | Literatur (ENG)

[4] Vgl.: Claus Grupen, Boris Shwartz: Particle Detectors (Cambridge Monographs on Particle Physics, Nuclear Physics and Cosmology). Cambridge University Press 2008 | Literatur (ENG)